Vetores e Produtos Vetoriais

Reta orientada

Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.
O sentido oposto é negativo.

Chamamos de eixo a reta orientada onde fixamos um ponto, chamado de origem, e determinamos uma unidade
de comprimento.

Segmento de reta orientado

Um segmento orientado é um segmento de um eixo e é determinado por um par ordenado de pontos, onde o
primeiro é a origem do segmento e o segundo é a extremidade do segmento. O segmento orientado de origem A e
extremidade B será representado por AB e o segmento orientado de origem C e extremidade D será representado
por CD, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento.

Ex:

Segmento nulo

Um segmento é nulo quando a extremidade coincide com a origem.

Medida de um segmento

Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado podese associar um número real, não negativo,
que é a medida do segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é seu comprimento ou
seu módulo.

Direção e sentido

Os segmentos orientados não nulos têm mesma direção se estão numa mesma reta suporte ou em retas
suportes paralelas. Os segmentos orientados não nulos têm mesmo sentido se tiverem mesma orientação. Caso
contrário, têm orientações contrárias.
Obs.: Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.

Segmentos opostos

Se AB é um segmento orientado, o segmento BA é oposto a AB. Os segmentos opostos têm mesma direção,
mesma medida e orientações (ou sentidos contrários).

Características de um segmento orientado

Um segmento orientado se caracteriza por seu comprimento (ou módulo), sua direção (reta suporte) e sua
orientação (sentido).

Espaço Cartesiano

Na Geometria de René Descartes, consideramos que todo o ponto do espaço possui três dimensões, este ponto
P está a uma distância finita de um triedro OXYZ, correspondente a um sistema de três dimensões reais:

x denominada abscissa que é a distância do ponto P ao plano YOZ;
y denominado ordenada que é a distância do ponto P ao plano XOZ
z denominado pela cota que é a distância do ponto P ao plano XOY

Tais números x,y,z denominam-se Coordenadas Cartesianas de um ponto P.

No Espaço Cartesiano um ponto definido P (x,y,z ) é representado por um trio ordenado de números reais ( x,y,z).

Eles constituem os instrumentos ideais para o desenvolvimento de muitos conceitos importantes da Fısica e
da Matematica.
Uma grandeza vetorial se representa por meio de uma flecha numa certa escala. O comprimento da flecha
representa o módulo do vetor, a linha sobre a qual se encontra é a direção do vetor e o sentido é indicado pela
flecha.

Dado o segmento orientado acima, chamamos de vetor o conjunto de todos os segmentos orientados
eqüipolentes ao segmento dado. Este segmento é um representante de um vetor.

Módulo de um Vetor (Norma)

Seja

, então

; Onde

ou V é o módulo do vetor.

Pode-se interpretar geometricamente o resultado encontrado do módulo como sendo o valor do
comprimento do vetor.

Versor

Versor de um vetor não nulo

é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de

. Simbolizando
o versor por

que é calculado pela expressão:

Vetores Colineares

São vetores que possuem a mesma direção, isto é, se estão numa mesma reta suporte ou em retas suportes
paralelas.

Vetores Coplanares

São vetores que pertencem a um mesmo plano ou que possuem representantes pertencentes a um mesmo
plano.

Produto escalar ou produto interno entre vetores.
De forma resumida, o produto interno entre dois vetores e é a soma do produto entre suas
coordenadas. Mas também pode ser denotado como o produto de seus comprimentos (norma) vezes o
cosseno do ângulo formado entre eles.
Adotando e , vetores em , seu produto interno expressado cartesianamente é:

Ou, pela definição, pode ser adotada a lei dos cossenos:

Já com o resultado obtido do produto escalar entre os vetores em mãos, ele pode ser interpretado nos
informando qual "tipo" de ângulo é formado entre eles.

AGUDO RETO OBTUSO

Se o resultado do produto escalar for:

> 0, temos um ângulo Agudo
= 0, temos um ângulo Reto
< 0, temos um ângulo Obtuso

Segue aqui, as propriedades do Produto Escalar entre Vetores:

Vamos agora à alguns exemplos:

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

O produto vetorial ou produto externo entre vetores, de uma forma mais simples, gera outro
vetor que é perpendicular aos outros dois vetores, isso quer dizer que seu produto gera um
vetor que forma um ângulo de 90º com ambos os vetores.

Dados os vetores

= (x1, y1, z1) e

= (x2, y2, z2), tomados nesta ordem, chamamos de
produto vetorial dos vetores e